【大概日更】每日一题，有奖

ムラサメ

k=(p+1)²/4
考虑到k和k-p是互质的，所以都是平方数，那么就有(a+b)(a-b)=p，所以a=(p+1)/2

本間心鈴

每日一题：数列{aₙ}满足a₀=3，(3-aₙ₊₁)(6+aₙ)=18，求1/a₀+1/a₁+1/a₂+...+1/aₙ

ムラサメ

有(a_n+3)/a_n=2ⁿ⁺¹ ，所以a_n=3/(2ⁿ⁺¹-1)。原式=(2ⁿ⁺²-n-3)/3

本間心鈴

每日一题：把各位数字和为7的自然数从小到大排成一个数列a₁, a₂...，已知aₙ=2005，求a₅ₙ

ムラサメ

n=65，a_{5n}=52000。

本間心鈴

每日一题：求所有正整数对(a, x, y)使aˣ+1整除aʸ+203
其中a≥2，x≥2

Darjeeling

6月12日每日一题

设 d = a^x + 1，那么有：a^x ≡ -1 (mod d)， a^2x ≡ 1 (mod d)
设 y = 2kx + r（0 ≤ r < 2x），从而 a^y ≡ ±a^s (mod d) ( 0 <= s < x) 有 |±a^s + 203| < a^x + 1 ( r ≠ 0, x)，
考虑分类讨论

r = 0
a^y ≡ 1 (mod d)，所以 d | 204
枚举 a^x + 1 的可能值，发现a^x + 1 = 17，对应 a = 2, x = 4 或 a = 4, x = 2
得到解：
- (a, x, y) = (2, 4, y)，且 y = 8k，k ∈ N*
- (a, x, y) = (4, 2, y)，且 y = 4k，k ∈ N*
r = x
此时 a^y ≡ -1 (mod d)，所以 d | 202
枚举发现 a^x + 1 = 101 可行，对应 a = 10, x = 2
得到 (a, x, y) = (10, 2, y)，且 y ≡ 2 mod 4

最近数论题挺多的，是不是可以考虑整点朴实无华的几何或者代数

ムラサメ

分类讨论

第三类，n>m，那么可以化归到n<m的情况，即可。

本間心鈴

每日一题：求正整数n，令20n+2整除2003n+2002

ムラサメ

显然无解

本間心鈴

每日一题：编号1 ~ n的小朋友以任意顺序站在编号1 ~ n的位置上，若能找到一个排列，使每个小朋友的编号加上自己的位置号都是完全平方数，则称n是“好的”，判断下列哪些n是好的
11 13 15 17 19

Darjeeling

本間心鈴
除 11 以外都是
这看起来像一道算法题

ムラサメ

11:4和11共用5，不行
其余均可构造
13: [8, 2, 13, 12, 11, 10, 9, 1, 7, 6, 5, 4, 3]
15: [3,2,6,5,4,10,9,8,7,15,14,13,12,11,1]或[8,2,6,5,4,3,9,1,7,15,14,13,12,11,10]或[15,2,1,5,4,3,9,8,7,6,14,13,12,11,10]或[15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1]
17: [3,7,6,5,4,10,2,17,16,15,14,13,12,11,1,9,8]或[15,7,1,5,4,3,2,17,16,6,14,13,12,11,10,9,8]
19: [3,2,1,5,4,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6]或[3,2,6,5,4,10,18,8,16,15,14,13,12,11,1,9,19,7,17]或[3,2,6,5,4,19,18,1,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,17]或[3,7,1,5,4,19,2,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,18,6]或[3,7,6,5,4,10,2,8,16,15,14,13,12,11,1,9,19,18,17]或[3,7,6,5,4,19,2,1,16,15,14,13,12,11,10,9,8,18,17]或[8,2,1,5,4,3,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,19,7,6]或[8,2,6,5,4,3,18,1,16,15,14,13,12,11,10,9,19,7,17]或[8,7,1,5,4,3,2,17,16,15,14,13,12,11,10,9,19,18,6]或[8,7,6,5,4,3,2,1,16,15,14,13,12,11,10,9,19,18,17]或[8,14,13,12,11,10,18,17,16,15,5,4,3,2,1,9,19,7,6]或[15,2,1,5,4,3,18,8,16,6,14,13,12,11,10,9,19,7,17]或[15,7,1,5,4,3,2,8,16,6,14,13,12,11,10,9,19,18,17]或[15,14,13,12,11,10,18,8,16,6,5,4,3,2,1,9,19,7,17]或[15,14,13,12,11,19,18,1,16,6,5,4,3,2,10,9,8,7,17]

ムラサメ

可能可以考虑更加general的情况，注意到是判定而不是构造所以直接使用hall定理，然后就不会了（

本間心鈴

每日一题：
动动手，动动脑。
小朋友们，是否存在这样的凸多面体，有12条棱，6个面，8个顶点，且存在四个面两两有一条公共棱

ムラサメ

三棱柱，一个点上切一刀。

本間心鈴

每日一题：给定矩形（边长a>b），求能覆盖住此矩形的正方形最小边长

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